1、Narayanaswamy本构模型介绍

平板玻璃的退火要求得到可接受的残余应力分布，而光学玻璃部件的规格通常包含同质的折射率。 热处理过程(如退火)的设计可以使用Narayanaswamy模型来实现. 用户可以研究物理属性(如体积)的时间相关性。

玻璃转化是一个温度区域，在该区域内，在几分钟或数小时内分子发生重新排列，从而液体变化的属性在很易观察到的速率进行。低于玻璃转化温度Tg时，材料很粘并有固态存在。高于玻璃转化温度Tg，很容易达到平衡结构而且材料处于液态。 因而，玻璃转化有在冷却过程中液体的一些属性变化显露出来。

如果在转化域的液体施加机械应力，由于粘弹性现象会引起容积的与时间相关的变化。如果在转化区的液体受到温度的突变，时间相关的体积变化如图1所示。后一过程称为结构松弛。因而结构松弛控制液体对温度的响应。

假设玻璃在温度T1是平衡的并在时间t0时突然冷却到T2。体积同时变化为αg（T2-T1）， 接着松弛到平衡值V（∞，T2）。由温度引起的总的体积变化α1（T2-T1），如图1（b）所示。体积变化率取决于被称为松弛时间的特性时间。

 体积变化斜率dV/dT从流体的高属性值α1到玻璃的低属性值αg 如图2所示。玻璃转化温度是转化区的中心。低温斜率代表原子在电势井振动引起的体积变化。

在玻璃温度区，原子被冻结成特定架构。 随着温度的增加，原子获得足够的能量打破界面并重新排列成新的结构。 这使体积增加更快，因而α1> αg。 两者之差α=α1-αg代表结构对体积的贡献。

当液体冷却并重新加热时，能观察到如图3所示的滞后环的存在。

不过，玻璃转化温度的概念还不够全面，真实的玻璃材料通常展现出一个温度范围，称为转化区，在该区域内它们的体积属性逐渐从固体类变化到液体类。

正如前面所讨论的，在转化区内属性具有时间相关性。强烈的温度相关性的解释是材料处于非平衡温度，该温度滞后于在加热-冷却循环过程中施加的温度。不平衡温度称为虚构温度，Tf，如图 所示。在T1时的虚构温度Tf（T1）是通过两条外插直线求交得到（参见图 )。当温度低于T2时（远低于玻璃转化），Tf到达极限值Tg。如果材料在Tf（T1）达到平衡，并瞬时冷却到T1，它将斜率为αg 的直线变化，因为没有发生结构重新排列。因而与具有连续冷却试样相同的体积。

 体积变化的响应可以描述为：

其中Tf（t）是虚构温度的当前值。响应函数Mv，它确定了虚构温度的值，假设是线性的并控制虚构温度的值和感兴趣的材料属性。

依据它线性的特点，可以在任何时间应用Boltzmann 迭加原理来计算虚构温度：

依据热流变简单材料特点引进缩减时间概念，ξ(t) ，来得到在单一主曲线上不同的非线性响应。

Marc中缩减时间由下式描述：

其中τref 是材料在合适的参考温度下评估出来的参考松弛时间。在给定的时间和温度下松弛时间可用下式表示：

参数x用来规定松弛时间规定中多少虚构温度参与，因而间于0和1之间。

H 是对于特定过程的激活能，R为气体常数。典型的响应函数为：

可以有多个结构松弛时间。因而响应函数可以表达如下：