0 引言

模态分析主要用于确定结构或机器部件的振动特性，同时模态分析还是其他动力学分析（如谐响应分析、瞬态动力学分析及谱分析等）的基础。在小型无人机舵机的齿轮传动中，对齿轮进行模态分析，可以确定结构或机械传动部件的固有频率和振型，使设计者避开这些频率或最大限度地减少对这些频率上的激励，从而避免产生共振，提高飞机操纵稳定性、飞行安全性。

有限元法是当今解决工程问题和数学物理问题中应用最广泛的数值计算方法，它具有对复杂几何构形的适应性和对各种物理问题的可应用性，建立在严格理论上的可靠性和适合计算机实现的高效性等特点，现在已经发展成为CAD和CAM的重要组成部分之一。

目前广泛使用有限元方法对齿轮进行的特性分析，主要是在静态下对单一齿轮进行的研究，很少有考虑齿轮的高速旋转以及啮合时轮齿之间相互约束的影响。作者分别对齿轮进行了静止状态分析与高速旋转状态下的模态分析。通过比较可知，齿轮的固有频率、振型、振幅在工作状态下发生了很大的改变。对于某小型无人机舵机的传动系统，通常是在高速和频繁变速的工况下工作，传统的单一齿轮静态线性模态分析方法不能满足分析的需要，故对齿轮系统进行实际工况下的振动分析就显得很有意义。

1 有限元模态分析理论

1.1 模态分析基本理论

模态分析的本质就是将物理模型转化成模态模型。模态分析需要已知结构的几何形状、边界条件和材料特性，把结构的质量分布、刚度分布和阻尼分布，分别用质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵表示出来，通过这些信息来确定系统的模态参数，进而完整地描述系统的动力学特征。

根据有限元法，得到齿轮系统的运动微分方程

式中，[M]、[C]和[K]分别为系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；{x}、和分别为位移向量、速度向量和加速度向量；{F(t)}为外力向量。

经过拉氏变换，可得到振动方程的频域表达式

其中，{F(s)}为激励向量，{x(s)}为响应向量。

令s=jω，然后引入模态坐标，令{x(s)}=[φ]{q}，[φ]为振型矩阵，[q]为模态坐标，则式(2)可以表示为

相互耦合的N自由度系统的方程组经正交变换，成为模态坐标下相互独立的N个自由度系统的方程组，解耦后的第i个方程为

从式(4)中可知，在采用模态坐标后N自由度系统的响应相当于在N个模态坐标下单自由度系统的响应之和。将模态质量归一化振型记为φ，采用归一方法使模态质量归一，即得

可得，为模态固有频率。

1.2 齿轮装配体模态分析理论

上述经典的线性模态分析理论，它要求刚度矩阵[K]是不变化的。刚度矩阵[K]是和约束有关系的，约束不同计算出的[K]不同，固有频率也不同。齿轮啮合传动时轮齿之间相互接触，存在约束关系。由于啮合部位和接触面积是随时间变化的，所以这种约束关系是随时间变化的，即[K]是时变的，也就是说齿轮传动系统并不存在一个确定的固有频率，不符合传统的线性模态分析理论。

通常处理这种问题时是将两个齿轮合并，作为一个零件来求模态，这种方法不仅没有考虑轮齿之间的约束关系，另外还增大了啮合刚度，导致求解的固有频率偏高。

实际工作中，齿轮传动是主动轮从齿根到齿顶经历双齿啮合一单齿啮合一双齿啮合的过程，从动轮则经历相反的过程。其中，双齿啮合区接触面积最大，其啮合刚度最大；反之，单齿啮合区接触面积最小，其啮合刚度最小。啮合刚度的变化导致其固有频率在一定范围内波动。可以计算啮合刚度最大和啮合刚度最小两种临界啮合状态下的频率，从而可知系统的固有频率范围。而每种临界状况下的模态分析都满足线性模态分析理论，可以直接用ANSYS进行求解。所以用ANSYS求解装配体的模态用的还是经典的线性模态分析理论，只是求解方法有所创新。